Данный метод является представителем класса приближенных методов

Идея метода чрезвычайно проста и сводится к процедуре последова-

тельных приближений для решения интегрального уравнения, к которому

приводится исходное дифференциальное уравнение.

Пусть поставлена задача Коши

,

Проинтегрируем выписанное уравнение

. (5.2)

Процедура последовательных приближений метода Пикара реализуется согласно следующей схеме

, (5.3)

Пример . Решить методом Пикара уравнение

,

Решение этого уравнения не выражается через элементарные функции.

,

Видно, что при ряд быстро сходится. Метод удобен, если интегралы можно взять аналитически.

Докажем сходимость метода Пикара. Пусть в некоторой ограниченной

области правая частьнепрерывна и, кроме того, удовлетворяет условию Липшица по переменнойт.е.

где - некоторая константа.

В силу ограниченности области имеют место неравенства

Вычтем из (5.3) формулу (5.2), получим для модулей правой и левой

,

.

Окончательно, используя условие непрерывности Липшица, получим

, (5.4)

где - погрешность приближенного решения.

Последовательное применение формулы (5.4) при дает следующую цепочку соотношений при учете того, что

,

,

.

Т.к. , то имеем

.

Заменяя по формуле Стирлинга, окончательно получим оценку погрешности приближенного решения

. (5.5)

Из (5.4) следует, что при модуль погрешности, т.е.

приближенное решение равномерно сходится к точному.

5.2.2. Методы Рунге-Кутта

Данные методы являются численными.

На практике применяются методы Рунге-Кутта, обеспечивающие пост-

роение разностных схем (методов) различного порядка точности. Наиболее

употребительны схемы (методы) второго и четвертого порядков. Их мы и

рассмотрим ниже.

Предварительно введем некоторые понятия и определения. Сеткой на

отрезке называется фиксированное множество точек этого отрезка.

Функция, определенная в данных точках, называется сеточной функцией.

Координаты точек удовлетворяют условиям

Точки являются узлами сетки. Равномерной сеткой наназывается множество точек

, ,

где - шаг сетки.

При решении дифференциальных уравнений приближенным методом основным является вопрос о сходимости. Применительно к разностным методам традиционно более употребительно понятие сходимости при . Обозначим значения сеточной функциизначения точного решения дифференциального уравнения (5.1) в узле-(являются приближенными значениями). Сходимость приозначает следующее. Фиксируем точкуи строим совокупность сетоктаким образом, чтои(при этом). Тогда считают, что численный метод сходится в точке, если

при ,. Метод сходится на отрезке, если он сходится в каждой точке. Говорят, что метод имеет-й порядок точности, если можно найти такое число, чтопри.

Введем далее понятие невязки или погрешности аппроксимции разностного уравнения, заменяющего заданное дифференциальное уравнение, на решении исходного уравнения, т.е. невязка представляет собой результат подстановки точного решения уравнения (5.1)в разностное уравнение. Например, (5.1) можно заменить следующим простейшим разностным уравнением

, .

Тогда невязка определится следующим выражением

.

Приближенное решение не совпадает вообще говоря с , поэтому невязкав-ой точке не равна нулю. Вводят следующее определение: численный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, еслипри, и имеет-й порядок точности, если.

Доказывается, что порядок точности численного метода решения дифференциального уравнения совпадает с порядком аппроксимации при достаточно общих предположениях.

Теперь перейдем к анализу схем Рунге-Кутта. Сначала обратимся к

схемам второго порядка точности.

Используя формулу Тейлора, решение дифференциального уравнения

(5.1) можно представить в виде

, (5.6)

где обозначено ,,.

Отметим, что согласно (5.1) ,.

производную следующим образом

,

где - пока неизвестные величины. Пусть

Обозначим приближенное значение решения в узле с номером через(именно это решение будет получаться после того, как мы ограничим ряд членами с порядком не выше второго).

Введенные здесь параметры иподлежат определению.

Разлагая правую часть в ряд Тейлора и приводя подобные члены, получим

последовательно

Условием выбора параметров ипоставим близость выраже-

ния (5.7) ряду (5.6), тогда

, ,.

Один параметр остается свободным. Пусть это будет , тогда

, ,

и окончательно из (5.7) с учетом найденных отношений для и

Соотношение (5.8) описывает однопараметрическое семейство двучленных формул Рунге-Кутта.

В специальной литературе доказывается, что если непрерывна и ограничена вместе со своими вторыми производными, то приближенное решение схемы (5.8) равномерно сходится к точному решению с погрешностью, т.е. схема (5.8) обладает вторым порядком точности.

В практике расчетов используют формулы (5.8) при значениях параметра ,.

Из (5.8) выводим

Применение формулы (5.9) сводится к следующей последовательности шагов:

1. Вычисляется грубо значение функции (по схеме ломаных)

2. Определяется наклон интегральной кривой в точке ()

3. Находится среднее значение производной функции на шаге

4. Рассчитывается значение функции в ()-м узле

Данная схема имеет специальное название "предиктор - корректор".

Согласно (5.8) получаем

Задача решается посредством следующих шагов:

1. Вычисляется значение функции в половинном узле

.

2.Определяется значение производной в узле

.

3. Находится значение функции в ()-м узле

Помимо рассмотренных выше двучленных схем широкое распространение в практике расчетов имеют схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Ниже даются без вывода соответствующие формулы

(5.10)

Схемы с большим числом членов практически не применяются. Пяти-

членные формулы обеспечивают четвертый порядок точности, шестичленные формулы имеют шестой порядок, но их вид весьма сложен.

Погрешности приведенных схем Рунге-Кутта определяются максималь-

ными значениями соответствующих производных.

Оценку погрешностей легко получить для частного случая правой

части дифференциального уравнения

.

В этом случае решение уравнения может быть сведено к квадратуре и

все схемы разностного решения переходят в формулы численного интегри-

рования. Например, схема (5.9) принимает вид

,

то есть имеет вид формулы трапеций, а схема (5.10) переходит в схему

представляющую собой формулу Симпсона с шагом .

Мажорантные оценки погрешности формул трапеций и Симпсона известны (см. раздел 3.2). Из (3.4) и (3.5) видно, что точность схем Рунге-Кутта достаточно высока.

Выбор той или иной из приведенных схем для решения конкретной за-

дачи определяется следующими соображениями. Если функция в

правой части уравнения непрерывна и ограничена, а также непрерывны и

ограничены ее четвертые производные, то наилучший результат достигает-

ся при использовании схемы (5.10). В том случае, когда функция

не имеет названных выше производных, предельный (четвертый) порядок

схемы (5.10) не может быть достигнут, и целесообразным оказывается

применение более простых схем.

Помимо схем Рунге-Кутта практический интерес представляют многошаговые методы, которые можно описать следующей системой уравнений

где , а- числовые коэффициенты,,.

Согласно данному уравнению расчет начинается с . В этом случае получается соотношение вида

т.е. для начала счета надо иметь начальных значений,. Эти значенияприходится вычислять каким-либо другим методом, например, методом Рунге-Кутта.

Среди многошаговых методов наиболее распространен метод Адамса, схема реализации которого следует из (5.11) при идля:

.

При метод Адамса оказывается явным, а при- неявным.

Метод Пикара Пикар Шарль Эмиль (1856-1941) -- французский математик.

Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения (1) в виде функции, представленной аналитически.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения (1) с начальным условием (2). Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от до:

Решение интегрального уравнения (9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Действительно, при, получим:

Вместе с тем, интегральное уравнение (9) позволяет применить метод последовательных приближений. Будем рассматривать правую часть формулы (9) как оператор, отображающий всякую функцию (из того класса функций, для которых интеграл, входящий в (9), существует) в другую функцию того же класса:

Если этот оператор является сжимающим (что следует из условия теоремы Пикара), то можно строить последовательность приближений, сходящуюся к точному решению. В качестве начального приближения принимается, и находится первое приближение

Интеграл в правой части содержит только переменную x; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения как функции переменной x. Далее заменим в правой части уравнения (9) y найденным значением и получим второе приближение

и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид

(n=1, 2…) (10)

Циклическое применение формулы (10) дает последовательность функций

сходящуюся к решению интегрального уравнения (9) (а, следовательно, и дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2)). Это так же обозначает, что k-й член последовательности (11) является приближением к точному решению уравнения (1) с определенной контролируемой степенью точности.

Заметим, что при пользовании методом последовательных приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения не обязательна, поэтому метод этот можно применять и в тех случаях, когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной ряд невозможно.

Погрешность метода Пикара

Оценка погрешности k-го приближения дается формулой

где y(x) - точное решение, - константа Липшица из неравенства (4).

На практике метод Пикара используется очень редко. Одна из причин - та, что интегралы, которые необходимо вычислять при построении очередных приближений, чаще всего аналитически не находятся, а применение их для вычисления численных методов так усложняет решение, что становится гораздо удобнее непосредственно применять другие методы, которые изначально являются численными.

Примеры решения задачи в Maple

Задача №1: Методом последовательных приближений найти значение, где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию, на отрезке, приняв шаг (расчет вести до второго приближения).

Дано: - дифференциальное уравнение

Начальное условие

Интервал

Найти: значение

Решение:

> y1:=simplify (1+int (x+1, x=0…x));

> y2:= simplify (1+int (x+simplify (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Найдем значение при x=0,5:

Задача №2: Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения при, удовлетворяющее начальному условию.

Дано: - дифференциальное уравнение

Начальное условие

Найти: значение

Решение:

Будем находить приближенное решение данного ДУ на отрезке с шагом (выбрали произвольно).

Запишем для данного случая формулу вида (10)

> y1:=simplify (1+int (x*1, x=0…x));

>y2:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Аналогично находим третье приближение:

>y3:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0…x));

Найдем приближенное решение данного ДУ при, для этого в третье приближение вместо x, подставим и получим:

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ:

По результатам таблицы, видно, что погрешность вычислений очень мала.

Цель работы: сформировать у студентов представление о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у " = f (x , y ) на отрезке [ a , b ] при заданном начальном условии у 0 = f (x 0) методами Пикара, Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ.

Метод Пикара

Пример 5.1.

: у h = 0,1 методом Пикара с шагом h .

В отчете представить: ход работы, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения.

Решение.

1. Вводим данные (рис. 5.1)

a = 1,7 b = 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3 i = 0..n

Рис.5.1. Задание исходных данных

2. Задаем функцию, возвращающую значения первой производной по переменной у (рис.5.2).

f derive(y ) =

Рис.5.2. Функция, возвращающая значение первой производной функции

3. Составим функцию, возвращающую решение ДУ методом

Пикара. Здесь: f – исходнаяфункция; f deriv –

Производная функции по у ; a ,b – концы отрезка; h – шаг; у 0 –

начальное значение переменной у .

4. Найдем решение ДУ методом Пикара (рис. 5.3).

fnPikan(fn, fn derive, a, b, h, y0)=

Рис. 5.3. Задание функции, возвращающей решение ДУ

методом Пикара (файл fnPikar.mcd)

fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =

	7,78457519486·10 -11
	5,3
	5,46340155616
	5,62650688007
	5,78947945853
	5,95251650231
	6,11584391144
	6,27971330675
	6,44440084325
	6,61020759752
	6,77746140952
	6,94652015221

Рис. 5.4. Нахождение численного решения ДУ методом Пикара

Метод Эйлера и его модификации

Пример 5.2.

у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагами h и h /2.

Решение.

Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на рис. 5.5 – 5.7.

а = 1,7 b = 2,7 у0 = 5,3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05

Рис5.5. Фрагмент рабочего листа Маthcad с решением

уравнения методом Эйлера с шагом h и h /2 и графической

визуализацией метода Эйлера.

1. Составим программу, реализующую метод Эйлера(рис.

Рис.5.6. Листинг программы, реализующий метод Эйлера

2. Получим решение ДУ методом Эйлера(рис. 5.7.).

ES h = eyler(f, a, b, h, y0)

ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)

Рис. 5.7. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера

Примечание

Функцию, возвращающую решение ДУ усовершенствованным методом Эйлера, составить самостоятельно.

Рис. 5.8. Решение ДУ усовершенствованным методом

Эйлера с шагами h и h /2

5.3. Метод Рунге – Кутты

На практике наиболее часто используют метод Рунге – Кутты четвертого порядка.

Пример 5.3.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Рунге – Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h .

В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

Решение.

1. Вводим данные задачи (рис. 5.9).

a = 1,7 b = 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3

i = 0..n

Рис.5.9. Задание исходных данных

2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге – Кутты. Здесь: fn – заданная функция; a , b – концы отрезка; h – шаг; y 0 – начальное значение функции.

3. Найдем решение ДУ первого порядка, используя встроенные функции Mathcad (рис. 5.10).

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)

Рис. 5.10. Листинг функции, возвращающей численное

решение ДУ методом Рунге–Кутты

Метод Адамса

Пример 5.4.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Адамса с шагом h .

В отчете представить: ручной счет, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

Решение.

1. Найдем первые четыре числа по формуле Рунге–Кутты (рис. 5.11).

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i

Рис. 5.11. Вычисление первых четырех значений численного решения по формуле Рунге–Кутты

2. Составим функцию, реализующую метод Адамса (рис. 2.10.3). Здесь a , b – концы отрезка; y 1 – начальное значение функции; h – шаг.

Рис. 5.12. Функция, возвращающая численное решение

ДУ методом Адамса

3. Графическая иллюстрация решения ДУ разными методами представлена на рис. 5.13.

Рис. 5.13. Визуализация решения ДУ разными методами

Вопросы по теме

1. Что значит – решить задачу Коши для ДУ первого порядка?

2. Графическая интерпретация численного решения ДУ.

3. Какие существуют методы решения ДУ в зависимости от

формы представления решения?

4. В чем заключается суть принципа сжимающих

отображений?

5. Рекуррентная формула метода Пикара.

6. В чем заключается суть метода ломаных Эйлера?

7. Применение, каких формул позволяет получить значения

искомой функции по методу Эйлера?

8. Графическая интерпретация метода Эйлера и

усовершенствованного метода Эйлера. В чем их отличие?

9. В чем заключается суть метода Рунге–Кутты?

10. Как определить количество верных цифр в числе,

являющемся решением ДУ методом Эйлера,

усовершенствованного метода Эйлера, Пикара, Рунге–

Задание к лабораторной работе № 5

Задание 5.1.

Решить задачу Коши для ДУ y ’ = f (x , y ) на отрезке [a , b ] при заданном НУ у (а ) = с и шаге интегрирования h (исходные параметры заданы в табл. 2.10.1):

1) методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагом h и h /2;

2) методом Рунге–Кутты с шагом h и 2h ;

3) методом Адамса;

4) методом Пикара.

Решение должно содержать: ход работы, программу метода, графическое решение уравнения и оценка погрешности приближения. В числах оставлять 5 цифр после запятой.

Таблица 5.1. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

№	f(x , y )	[a , b ]	y 0	h
	3х 2 + 0,1ху		у (0) = 0,2	0,1
	0,185(x 2 + cos(0,7x )) + 1,843y		у (0,2) = 0,25	0,1
			у (1,6) = 4,6	0,1
			у (0,2) = 1,1	0,1
			у (1,4) = 2,5	0,1
			у (1,7) = 5,3	0,1
			у (2,6) = 3,5	0,2
			у (2) = 2,3	0,1
	1,6 + 0,5y 2		у (0) = 0,3	0,1
			у (1,8) = 2,6	0,1
			у (2,1) = 2,5	0,1
	e 2x + 0,25y 2		у (0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	у (-2) = 3	0,1
	0,133·(x 2 + sin(2x )) + 0,872y		у (0,2) = 0,25	0,1
	sin(x + y ) +1,5		у (1,5) = 4,5	0,1
			у (0,4) = 0,8	0,1
	2,5x + cos(y + 0,6)		у (1) = 1,5	0,2
	cos(1,5y +x ) 2 + 1,4		у (1) = 1,5	0,1
			у (1,5) = 2,1	0,05
	cos y + 3x		у (0) = 1,3	0,1
	cos(1,5x – y 2) – 1,3	[-1; 1]	у (-1) = 0,2	0,2
			у (1,6) = 4,6	0,1
	e -(y – 1) + 2x		у (0) = 0,3	0,05
	1 + 2y sin x – y 2		у (1) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
	0,166(x 2 + sin(1,1x )) + 0,883y		у (0,2) = 0,25	0,1
			у (1,7) = 5,6	0,1
			у (1,4) = 2,5	0,1
			у (0,6) = 0,8	0,1
			у (1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8y sin x - 2y 2		у (0) = 0	0,1
			у (0,5) = 1,8	0,1
			у (1,2) = 1,8	0,1
	1 + 2,2 · sin x + 1,5y 2		у (0) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
	0,2x 2 + y 2		у (0) = 0,8	0,1
	x 2 + y		у (0) = 0,4	0,1
	xy + 0,1y 2		у (0) = 0,5	0,1

Литература

Основная литература :

Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математические методы в

пищевой инженерии: Учебное пособие. – СПб.: «Лань», 2012. – 212 с.

Алексеев Г.В. Математические методы в инженерии: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ. 2012. – 39 с.

Алексеев Г.В., Холявин И.И. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация: учебное пособие для вузов, ГИЭФПТ, 2011, 211 с.

Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2009. - 384 с.

дополнительная литература :

Поршнев С.В.,Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –

СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.

Агапьев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие / СПбГТУ. СПб., 2001.

ГореловаГ.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – М.: Феникс, 2005. – 476 с.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.-М.: Наука, 1976

Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента.-М.: Радио и связь, 1983

Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента.-М.: Наука, 1976

Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия.-М.: Финансы и статистика, 1981

Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента.-Минск: БГУ, 1982

Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента.-М.: Наука,1979

Фролькис В.А. Линейная и нелинейная оптимизация.-СПб. 2001. 306 с.

Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.-СПб.: BHV,1997,384с

программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

http://www.open-mechanics.com/journals - Процессы и аппараты пищевых производств

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Механика жидкости и газа, гидравлика и гидравлические машины

http://elibrary.ru/defaultx.asp - научная электронная библиотека «Elibrary»

Введение

1.Лабораторная работа №1: Теория приближенных вычислений

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

1.2. Погрешность округленного числа

1.3. Погрешности арифметических действий

1.4. Погрешности элементарных функций

1.5. Способ границ

1.6. Обратная задача теории погрешностей

1.7. Вопросы по теме

1.8. Задания к лабораторной работе №1

2.Лабораторная работа №2:Численные методы решения

скалярных уравнений

1.1. Метод хорд

1.2. Метод касательных

1.3. Метод простой итерации

1.4. Вопросы по теме

1.5. Задания к лабораторной работе №2

3.Лабораторная работа №3: Численные методы решения систем

нелинейных уравнений

3.1. Метод Ньютона

3.2. Вопросы по теме

3.3. Задание к лабораторной работе №3

4.Лабораторная работа№4: Численное интегрирование

4.1. Метод прямоугольников

4.2. Метод Симпсона

4.3. Метод трапеций

4 .4. Метод Монте – Карло

4.5. Вопросы по теме

4.6. Задание к лабораторной работе №4

5. Лабораторная работа №5: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1. Метод Пикара

5.2. Метод Эйлера и его модификации

5.3. Метод Рунге – Кутты

Билет № 5.3. Общесистемная модель объекта управления. Характеристика групп переменных. Управленческое решение с позиций модели. Проблема «выходных» переменных и пути ее решения

1
18.01.2018

Постановка задачи
Дифференциальные
уравнения
устанавливают связь между независимыми
переменными, искомыми функциями и их
производными. Если искомая функция
зависит от одной переменной, то
дифференциальное уравнение называется
обыкновенным.

Постановка задачи
Например, условие равновесия упругой среды
описывается обыкновенным дифференциальным
уравнением:
dTx
Fx 0
dx
Tx – компонента механических
напряжений, F - действующая на
сплошную среду сила в расчёте на
единицу массы
Здесь искомая функция (механическое
напряжени) T(x) зависит от одной переменной
x (координата).

Постановка задачи

В том случае, если искомая функция зависит от
нескольких переменных, дифференциальное уравнение
будет уравнением в частных производных.
Например, движение упругой среды можно описать
уравнением в частных производных:
2u x Tx
2
t
x
ux – смещение среды, ρ – плотность
среды, Tx – компонента напряжений
В этом уравнении функция u(t,x) зависит от времени
(t) и направления смещения среды (x).

Постановка задачи
Обыкновенными дифференциальными уравнениями
(ОДУ) называются уравнения, которые содержат одну или
несколько производных от искомой функции y = y(x):
F (x, y, y ,..., y (n)) 0 ,
где x – независимая переменная.
Наивысший порядок n, входящей в уравнение
производной, называется порядком дифференциального
уравнения.
Например:
F (x, y, y ") 0 уравнение первого порядка;
F (x, y, y " , y") 0 уравнение второго порядка

Постановка задачи
Из общей записи дифференциального уравнения
можно выразить производную в явном виде:
y " f (x, y),
y" f (x, y, y ")
Уравнение для производных имеет бесконечное
множество решений. Для получения единственного
решения необходимо указать дополнительные
условия, которым должны удовлетворять искомые
решения.

Постановка задачи
В зависимости от вида таких условий
рассматривают три типа задач, для которых доказано
существование и единственность решений.
Первый тип – это задачи с начальными
условиями.
Для
таких
задач
кроме
исходного
дифференциального уравнения в некоторой точке x0
должны быть заданы начальные условия, т.е.
значения функции y (x) и её производных: y (x0) =
y0
y" (x0) = y"0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10 .

Постановка задачи
Второй тип задач – это, так называемые,
граничные, или краевые, в которых
дополнительные условия задаются в виде
функциональных
соотношений
между
искомыми решениями.
Третий тип задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений – это задачи на
собственные значения.

Постановка задачи
Сформулируем задачу Коши.
Найти решение обыкновенного дифференциального
уравнение (ОДУ) первого порядка, разрешенное
относительно производной
y " f (x, y),
удовлетворяющее начальному условию
y (x0) y0

10.

Постановка задачи
Необходимо найти на отрезке такую
непрерывную функцию
y = y(x), которая
удовлетворяет дифференциальному уравнению
y " f (x, y), и начальному условию y (x0) y0
т.е.
найти
решение
дифференциального
уравнения. Нахождение такого решения называют
решением задачи Коши. Численное решение этой
задачи состоит в построении таблицы приближенных
значений y1,y2,...,yn решения уравнения y(x) в точках
x1,x2,...,xn с некоторым шагом h.
xi x0 i h,
i=1,2,...,n.

11.

Обыкновенные
дифференциальные уравнений
Уравнения в частных
производных
z z
dy
0
2(y 3)
2
2
x
y
dx
2
d y
2
2
t
1
2
z
z
dt
3 2 2 4
x
y
3
xdy=y dx
2
y’=x
2
11
2
18.01.2018

12.

Уравнения первого порядка
dy
2(y 3)
dx
Уравнения второго порядка
2
d y
t
1
2
dt
z z
0
2
2
x
y
2
3
xdy=y dx
z z
3 2 2 4
x y
2
2
y′=x
12
2
2
18.01.2018

13.

Пример 1. Для дифференциального уравнения
dy
2x
dx
y0 = 2 при х0 = 1
общее решение: у = х2 +
С
2 = 1 + С, то есть С = 1
М0 (1; 2)
13
18.01.2018

14.

Условие Липшица
R[ a ,b ] {| x x0 | a, | y y0 | b}
f (x, y) f (x, y) N y y
14
18.01.2018

15.

Методы приближенного решения дифференциальных
уравнений
Аналитические методы
Численные методы
Метод последовательных
приближений – метод
Пикара
Метод Эйлера и его
модификации
Метод интегрирования
дифференциальных
уравнений с помощью
степенных рядов
Метод Рунге-Кутта
Экстраполяционный метод
Адамса
15
18.01.2018

16.

18.01.2018

17.

Решить дифференциальное уравнение
у′=f(x, y) численным методом –
это значит для заданной
последовательности аргументов
х0, х1,…,хn и числа у0,
не определяя функцию у=F(x),
найти такие значения у1, y2, …, yn,
что yi=F(xi) и F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018

18.

Пусть дано дифференциальное уравнение
первого порядка
y’= f (x, y)
с начальным условием
x=x0, y(x0)=y0
b a
h
n
шаг интегрирования
18.01.2018

19.

19
18.01.2018

20.

xk 1
xk 1
f (x, y) y" dx y(x)
xk
xk 1
xk
y (xk 1) y (xk) yk 1 yk
xk
то есть
yk 1 yk
xk 1
f (x, y)dx
xk
18.01.2018

21.

xk 1
f (x, y)dx f (x , y) x
k
k
xk 1
xk
f (xk , yk)(xk 1 xk) y " h
xk
yk 1 yk y"k h
yk 1 yk y"k h
Обозначим
yk 1 yk yk
yk h y"k
yk 1 yk yk
18.01.2018

22.

y
h
0
x0
x1
x2
x
18.01.2018

23.

Погрешность метода
hM
n
y (xn) y n
(1 hN) 1
2N
где
f (x1 , у1) f (x1 , y2) N y1 y2
df
f
f
f
M
dx
x
y
18.01.2018

24.

Пример 1. Решить у’=у-x с начальным
условием х0=0, у0=1.5 на отрезке , h=0.25
Решение
i
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
yi
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi’=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
yi hy
"
i
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018

25.

Метод Эйлера
Ввод x, y, h, b
Вывод x, y
y: y hf x, y
x: x h
+
x b
конец
18.01.2018

26.

Усовершенствованный метод Эйлера
yn+1 = yn + h·/2
вернемся к разложению функции в ряд Тейлора
повышение точности расчета может быть достигнуто за счет сохранения
члена, содержащего h2. y (t0) можно аппроксимировать конечной разностью:
С учетом этого выражения разложение функции в ряд Тейлора принимает вид
ошибка при этом имеет порядок h3
18.01.2018

27.

18.01.2018

28.

Задача. Пусть дано дифференциальное
уравнение первого порядка
y’= f(x, y)
с начальным условием
x=x0, y(x0)=y0
Найти решение уравнения на отрезке
yi 1 yi yi
18.01.2018

29.

k1 hf (x, y)
h
k1
k 2 hf (x , y)
2
2
h
k2
k3 hf (x , y)
2
2
k4 hf (x h, y k3)
18.01.2018

30.

1
y (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
yi 1 yi yi
18.01.2018

31.

18.01.2018

32.

Погрешность метода Rn(h5)
18.01.2018

33.

Пример 1. Решить дифференциальное
уравнение у′= у-x с начальным
условием х0=0, у(х0)=у0=1.5 методом
Рунге-Кутта. Вычислить с точностью до 0,01.
Решение
k1(0)=(y0-x0)h=1.5000*0.25=0.3750
k 2(0)
k1(0)
h
x0 h (1.5000 0.1875) 0.125 0.25 0.3906
y0
2
2
18.01.2018

34.

k3(0)
k 2(0)
h
x0 h (1.5000 0.1953) 0.125 0.25 0.3926
y0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1.5000+0.3926)0.125]*0.25=0.4106
1
y0 (0.3750 2 * 0.3906 2 * 0.3926 0.4106)
6
=0,3920
y1=1.50000+0.3920=1.8920
18.01.2018

35.

18.01.2018

36.

18.01.2018

37.

Метод Рунге-Кутта при решении систем
дифференциальных уравнений
,
y " f (x, y , z)
z
"
g
x
,
y
,
z
18.01.2018

38.

1 (i)
(i)
(i)
(i)
yi (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
1 (i)
(i)
(i)
(i)
zi (l1 2l2 2l3 l4)
6
, где
18.01.2018

39.

(i)
1
k
(i)
1
l
hf (xi , yi , zi)
hq(xi , yi , zi)
18.01.2018

40.

k
l
(i)
2
(i)
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hf (xi , yi
, zi)
2
2
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hq(xi , yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018

41.

k
(i)
3
(i)
3
l
(i)
2
(i)
2
(i)
2
(i)
2
h
k
l
hf (xi , yi
, zi)
2
2
2
h
k
l
hq(xi , yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018

42.

k
l
,
(i)
4
(i)
4
(i)
3
k
h
(i)
hf (xi , yi
, zi l3)
2
2
(i)
3
k
h
(i)
hq(xi , yi
, z i l3)
2
2
yi 1 yi yi
zi 1 zi zi
18.01.2018

43.

Метод последовательных приближений
43
18.01.2018

44.

Первое приближение:
Второе приближение:
Третье приближение:
…
n-е приближение:
44
18.01.2018

45.

Теорема. Пусть в окрестности точки (х0; у0)
функция f(х, у) непрерывна и имеет
ограниченную частную производную f’y (х, у).
Тогда в некотором интервале, содержащем
точку х0, последовательность { yi(x)}
сходится к функции у(х), служащей
решением дифференциального
уравнения у’ = f(х, у) и
удовлетворяющей условию у (х0) = у0
45
18.01.2018

46.

Оценка погрешности метода Пикара
n 1
h
| y yn | N M
(n 1)!
n
где М = mах |f(х, у)|
N = mах |f ’y(х, у)|
b
h min a,
M
46
18.01.2018

47. Метод Пикара последовательных приближений

Дифференциальное уравнение n-ого порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого
порядка
y’ = f(x, y)
(1)
с начальными условиями
y(x0) = y0
(2).
Предполагается, что в некоторой окрестности точки
M0(x0, y0) уравнение (1) удовлетворяет условиям теоремы
существования и единственности решения.

48.

Будем строить искомое решение y = y(x) для значений
x x0 .
Случай x x0 аналогичен.
Интегрируя правую и левую части уравнения (1) в
пределах от x0 до x, получим
x
y (x) y (x0) f (x, y)dx
x0
или в силу начального условия (2), будем иметь
x
y (x) y0 f (x, y)dx
x0
(3)

49.

Так как искомая функция y = y(x) находится под
знаком интеграла, то уравнение (3) является
интегральным.
Очевидно, решение интегрального уравнения (3)
удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и
начальному условию (2).
Для нахождения этого решения применим метод
последовательных приближений.
Заменяя в равенстве (3) неизвестную функцию y
данным значением y0, получим первое приближение
x
y1 y0 f (x, y0)dx
x0

50.

Далее подставив в равенстве (3) вместо неизвестной
функции y найденную функцию y1, будем иметь второе
приближение
x
y2 y0 f (x, y1)dx
и т.д.
x0
Все дальнейшие приближения строятся по формуле
x
yn y0 f (x, yn 1)dx
(n = 1, 2, …)
x0
Геометрически
последовательные
приближения
представляют собой кривые yn = yn(x) (n = 1, 2, …),
проходящие через общую точку M0(x0, y0).

51.

y
0
x0
x x+h
x
Замечание.
При
методе
последовательных
приближений в качестве начального приближения y0,
можно выбирать любую функцию, достаточно близкую к
точному решению y.
Например, иногда выгодно в качестве y0 брать
конечный отрезок ряда Тейлора искомого решения.

52.

Заметим,
что
при
пользовании
методом
последовательных приближений аналитичность правой
части дифференциального уравнения необязательна,
поэтому этот метод можно применять и в тех случаях,
когда
разложение
решения
дифференциального
уравнения в степенной ряд невозможно.
Пример 1. Методом последовательных приближений
найти приближенное решение дифференциального
уравнения
y’ = x – y,
Удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1.

53.

Решение. В качестве
возьмем y0(x) = 1. Так как
начального
приближения
x
y 1 (x y)dx
0
то будем иметь
x
x2
y1 1 (x 1)dx 1 x
2
0
Аналогично
3
x2
x
dx 1 x x 2
y2 1 x 1 x
2
6
0
x

54.

Подобным же образом получим
3
4
x
x
y3 1 x x 2
3 24
3
4
5
x
x
x
y4 1 x x 2
3 12 120
и т.д.

55. Система дифференциальных уравнений (метод Пикара)

Дана система дифференциальных уравнений
dy
f (x, y)
dx
(4)
y(x0) y0
(5)
где
Записывая векторное уравнение (4) в интегральной
форме, будем иметь

56.

x
y y0 f (x, y)dx
(6)
x0
где под интегралом от вектор-функции
понимается вектор
x
x0
x
f1 dx
x0
f dx
x
f n dx
x0
f1
f
f n

57.

Последовательные приближения
определяются по формуле
x
y
(p)
y 0 f (x, y
(p 1)
y (p) (p = 1, 2, …)
)dx
x0
Причем обычно полагают
y (0) y
Этот метод годится также для дифференциального
уравнения n-го порядка, если его записать в виде
системы.

58.

Пример 2. Построить несколько последовательных
приближений для решения системы
dy1
dx x y1 y2
dy2 x 2 y 2
1
dx
удовлетворяющего начальным условиям
y1(0) = 1; y2(0) = 0

59.

Решение. Имеем:
x
y1 1 (x y1 y2)dx
0
x
y2 (x2 y12)dx
0
Отсюда, полагая
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
получаем
x
2
x
(1)
y1 1 (x 0)dx 1
2
0
x
3
x
(1)
y2 (x 2 1)dx x
3
0

60.

x 2
x 3
x 4 x6
1 x 1 x dx 1
2
3
24 36
0
x
(2)
1
y
4
5
2
x
x
x 1 x 2 dx x
4
20
0
x
y2
(2)
и т.д.

61.

Окончание вычислений
n 1
h
| y yn | N M
(n 1)!
n
61
18.01.2018

Это приближенный метод решения, являющийся обобщением метода последовательных приближений (см. главу V, § 2). Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка

Интегрируя дифференциальное уравнение, заменим эту задачу эквивалентным ей интегральным уравнением типа Вольтерра

Решая это интегральное уравнение методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара

(приближенное решение, в отличие от точного, мы будем обозначать через у). На каждой итерации этого процесса интегрирование выполняется либо точно, либо численными методами, описанными в главе IV.

Докажем сходимость метода, предполагая, что в некоторой ограниченной области правая часть непрерывна и удовлетворяет по переменной и условию Липшица

Поскольку область ограничена, то выполняются соотношения Обозначим погрешность приближенного решения через Вычитая (8) из (9) и используя условие Липшица, получим

Решая это рекуррентное соотношение и учитывая, что найдем последовательно

Отсюда следует оценка погрешности

Видно, что при , т. е. приближенное решение равномерно сходится к точному во всей области .

Пример. Применим метод Пикара к задаче Коши для уравнения (3), решение которого не выражается через элементарные функции

В этом случае квадратуры (9) вычисляются точно, и мы легко получаем

и т. д. Видно, что При эти приближения быстро сходятся и позволяют вычислить решение с высокой точностью,

Из этого примера видно, что метод Пикара выгодно применять, если интегралы (9) удается вычислить через элементарные функции. Если же правая часть уравнения (7) более сложна, так что эти интегралы приходится находить численными методами, то метод Пикара становится не слишком удобным.

Метод Пикара легко обобщается на системы уравнений способом, описанным в п. 2. Однако на практике чем выше порядок системы, тем реже удается точно вычислять интегралы в (9), что ограничивает применение метода в этом случае.

Имеется много других приближенных методов. Например, С. А. Чаплыгин предложил метод, являющийся обобщением алгебраического метода Ньютона на случай дифференциальных уравнений. Другой способ обобщений метода Ньютона предложил Л. В. Канторович в 1948 г. В обоих этих методах, так же как и в методе Пикара, итерации выполняются при помощи квадратур. Однако квадратуры в них имеют гораздо более сложный вид, чем (9), и редко берутся в элементарных функциях. Поэтому эти методы почти не применяют.