Определение признак параллельности прямой и плоскости. Параллельность прямых и плоскостей

Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве :

Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости .

Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.

Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку

Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек . (они не пересекаются

Утверждение 1 . Предположим, что прямая a и плоскость α параллельны, а плоскость β проходит через прямую a . Тогда возможны два случая:

Но тогда точка P оказывается точкой пересечения прямой a и плоскости α , и мы получаем противоречие с тем, что прямая a и плоскость α параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.

Утверждение 2 (признак параллельности прямой и плоскости) . Если прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна некоторой прямой b , лежащей в плоскости α , то прямая a и плоскость α параллельны.

Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости "от противного". Предположим, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке P . Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b .

Точка P лежит на прямой a и принадлежит плоскости β. Но по предположению точка P принадлежит и плоскости α , следовательно точка P лежит на прямой b , по которой пересекаются плоскости α и β . Однако прямые a и b параллельны по условию и не могут иметь общих точек.

Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.

Теоремы

• Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
• Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
• Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
• Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
• Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
• Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
• Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

Определение параллельных прямых и их свойства в пространстве такие же, как и на плоскости (см. п. 11).

Вместе с тем в пространстве возможен еще один случай расположения прямых - скрещивающиеся прямые. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

На рисунке 121 изображен макет жилой комнаты. Вы видите, что прямые, которым принадлежат отрезки АВ и ВС и являются скрещивающимися.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися параллельными им прямыми. Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые.

Градусная мера угла между параллельными прямыми считается равной нулю.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. Можно доказать, что две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Таким образом, для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми а и b (рис. 122) нужно провести через каждую из этих прямых параллельные плоскости а и . Расстояние между этими плоскостями и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми а и b. На рисунке 122 этим расстоянием является, например, расстояние АВ.

Пример. Прямые а и b параллельны, а прямые с и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых а и пересекать обе прямые

Решение. Прямые а и b лежат в одной плоскости, и поэтому любая прямая, пересекающая каждую из них, лежит в той же плоскости. Следовательно, если бы каждая из прямых а, b пересекала обе прямые с и d, то прямые лежали бы в одной плоскости с прямыми а и b, а этого быть не может, так как прямые скрещиваются.

42. Параллельность прямой и плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости а, то пишут: .

На рисунке 123 изображена прямая а, параллельная плоскости а.

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости (признак параллельности прямой и плоскости).

Эта теорема позволяет в конкретной ситуации доказать, что прямая и плоскость являются параллельными. На рисунке 124 изображена прямая b, параллельная прямой а, лежащей в плоскости а, т. е. по прямая b параллельна плоскости а, т. е.

Пример. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника ABC параллельно гипотенузе на расстоянии 10 см от нее проведена плоскость. Проекции катетов на эту плоскость равны 30 и 50 см. Найти проекцию гипотенузы на ту же плоскость.

Решение. Из прямоугольных треугольников BBVC и (рис. 125) находим:

Из треугольника ABC находим:

Проекция гипотенузы АВ на плоскость а равна . Так как АВ параллельна плоскости а, то Итак, .

43. Параллельные плоскости.

Две плоскости называются параллельными. если они не пересекаются.

Две плоскости параллельны» если одна на них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости (признак параллельности двух плоскостей).

На рисунке 126 плоскость а параллельна пересекающимся прямым а и b, лежащим в плоскости , тогда по эти плоскости параллельны.

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

На рисунке 127 изображены две параллельные плоскости , а плоскость у их пересекает по прямым а и b. Тогда по теореме 2.7 можно утверждать, что прямые а и b параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

По Т.2.8 отрезки АВ и изображенные на рисунке 128, равны, так как

Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями (рис. 129). Определяемый так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости.

Курс геометрии широк, объемен и многогранен: он включает в себя множество различных тем, правил, теорем и полезных знаний. Можно представить, что все в нашем мире состоит из простого, даже наиболее сложное. Точки, прямые, плоскости - все это есть и в вашей жизни. И они поддаются имеющимся в мире законам о соотношении объектов в пространстве. Чтобы доказать это, можно попытаться доказать параллельность прямых и плоскостей.

Прямая - это линия, которая соединяет две точки по кратчайшей траектории, не заканчиваясь и длясь с обоих сторон в бесконечность. Плоскость - это поверхность, образующаяся при кинематическом движении образующей прямой линии по направляющей. Другими словами, если две любые прямые имеют точку пересечения в пространстве, они могут лежать и в одной плоскости. Однако как выразить и прямых, если этих данных недостаточно для подобного утверждения?

Главное условие параллельности прямой и плоскости - чтобы они не имели общих точек. В отличие от прямых, которые могут при отсутствии общих точек являться не параллельными, а расходящимися, плоскость двухмерна, что исключает такое понятие, как расходящиеся прямые. Если данное условие параллельности не соблюдено - значит, прямая пересекает данную плоскость в какой-то одной точке либо лежит в ней полностью.

Что же показывает нам условие параллельности прямой и плоскости нагляднее всего? То, что в любой точке пространства расстояние между параллельными прямой и плоскостью будет константой. При существовании хоть малейшего, в миллиардные доли градуса, уклона прямая рано или поздно пересечет плоскость за счет обоюдной бесконечности. Именно поэтому параллельность прямой и плоскости возможна только при соблюдении этого правила, иначе главное ее условие - отсутствие общих точек - соблюдено не будет.

Что можно добавить, рассказывая про параллельность прямых и плоскостей? То, что если одна из параллельных прямых принадлежит плоскости, то вторая или параллельна плоскости, или тоже принадлежит ей. Как это доказать? Параллельность прямой и плоскости, заключающей в себе прямую, параллельную данной, доказывается очень просто. не имеют общих точек - стало быть, они не пересекаются. А если прямая не пересекается с плоскостью в одной точке - значит, она или параллельна, или лежит на плоскости. Это еще раз доказывает параллельность прямой и плоскости, не имеющих точек пересечения.

В геометрии есть также теорема, которая утверждает, что если существуют две плоскости и прямая линия, перпендикулярна им обеим, то плоскости параллельны. Схожая теорема утверждает, что если две прямые бывают перпендикулярны одной любой плоскости, они обязательно будут параллельны друг другу. Верна ли и доказуема ли параллельность прямых и плоскостей, выраженная данными теоремами?

Оказывается, это так. Прямая, перпендикулярная плоскости, всегда будет строго перпендикулярна любой прямой, которая пролегает в данной плоскости и также имеет с другой прямой точку пересечения. Если прямая имеет подобные пересечения с несколькими плоскостями и во всех случаях является им перпендикулярной - значит, все данные плоскости параллельны друг другу. Наглядным примером может служить детская пирамидка: ее ось будет искомой перпендикулярной прямой, а кольца пирамидки - плоскостями.

Стало быть, доказать параллельность прямой и плоскости достаточно легко. Эти знания получаются школьниками при изучении азов геометрии и во многом определяют дальнейшее усвоение материала. Если уметь грамотно пользоваться полученными в начале обучения знаниями, можно будет оперировать куда большим количеством формул и пропускать ненужные логические связки между ними. Главное - это понимание основ. Если же его нет - то изучение геометрии можно сравнить со строительством без фундамента. Именно поэтому данная тема требует пристального внимания и досконального исследования.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.